Question

數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n²-1，a_N=1且a_N-1≠1，其中N∈{2，3，4，…}
（1）求證：|a₁|≤1；
（2）求證：a₁=cos

kπ

2N-2

（k∈Z）．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,數(shù)列遞推式

專題：證明題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：利用數(shù)學歸納法的證明步驟，即可證明結(jié)論．

解答： 證明：（1）猜想：|a_N-k|≤1，1≤k＜N-1，k∈N^*，接下來用數(shù)學歸納法對k進行證明：
當k=1時，由a_n+1=2a_n²-1，a_N=1得aN-12=1，但a_N-1≠1，
∴a_N-1=-1，
∴|a_N-1|≤1成立--------------------------------------------（2分）
假設k=m（1≤m＜N-1，m∈N₊）時，|a_N-m|≤1，則aN-m-12=

aN-m+1

2

∈[0，1]
所以|a_N-m-1|≤1，所以k=m+1時結(jié)論也成立．
綜上，有|a_N-k|≤1，1≤k＜N-1，k∈N₊，故有|a₁|≤1；----------------（5分）
（2）當N=2時，由a₂=1且a₁≠1得a₁=-1=cosπ成立，
假設N=m（m≥2）時，存在k∈Z，使得a₁=cos

kπ

2m-2

------------------（7分）
則當N=m+1時，由歸納假設，存在k，使得a₂=cos

kπ

2m-1

，
則a12=

a2+1

2

=

cos kπ 2m-1 +1

2

=cos²

kπ

2m-2

，
所以a₁=cos

kπ

2m-2

=cos

2kπ

2(m+1)-2

或a₁=-cos

kπ

2m-2

=cos

(2(m+1)-2-2k)π

2(m+1)-2

，
所以無論N取任何大于1的正整數(shù)，都存在k使得cos

kπ

2N-2

--（10分）

點評：本題考查數(shù)學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．