Question

已知函數f（x）=a-

1

2x+1

．
（Ⅰ）求證：不論a為何實數f（x）總是為增函數；
（Ⅱ）確定a的值，使f（x）為奇函數，并說明理由；
（Ⅲ）當f（x）為奇函數時，若

1

1 2 -f(x)

＜4^x+a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）直接利用函數單調性的定義加以證明；
（Ⅱ）由函數是定義域為R上的奇函數，借助于f（0）=0求得a的值，然后利用奇函數的定義驗證；
（Ⅲ）由函數是奇函數得到f（x）的解析式，代入

1

1 2 -f(x)

＜4^x+a后分離參數a，然后利用換元法及配方法求出函數的最值，則答案可求．

解答： （Ⅰ）證明：函數f（x）=a-

1

2x+1

的定義域為R，
任設x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵x₁＜x₂，
∴2x1-2x20，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
即不論a為何實數f（x）總是為增函數；
（Ⅱ）解：∵f（x）為定義在實數集上的奇函數，
∴對于任意實數x都有f（-x）=-f（x），
令x=0，則f（0）=f（-0）=-f（0），f（0）=0．
∴a-

1

2

=0，即a=

1

2

．
則f（x）=

1

2

-

1

2x+1

．
∵f(x)+f(-x)=

1

2

-

1

2x+1

+

1

2

-

1

2-x+1

=1-

2x+2-x+2

2x+2-x+2

=0．
∴f（-x）=-f（x）．
即當a=

1

2

時，函數f（x）為奇函數；
（Ⅲ）解：當f（x）為奇函數時，f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，
由

1

1 2 -f(x)

＜4x+a，得2^x+1＜4^x+a．
即a＞-4^x+2^x+1恒成立．
令t=2^x，則t＞0，
-4x+2x+1=-t2+t+1=-(t-

1

2

)2+

5

4

≤

5

4

．
當且僅當t=

1

2

時取等號．
∴a＞

5

4

．

點評：本題考查了函數的性質，考查了函數的單調性和奇偶性的證明方法，訓練了利用分離參數法求變量的取值范圍，考查了配方法，是壓軸題．