Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$cosx，cosx），$\overrightarrow$=（0，sinx），$\overrightarrow{c}$=（sinx，cosx），$\overrightarrownnolu7h$=（sinx，sinx）
（1）當x=-$\frac{π}{4}$時，求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求$\overrightarrow{c}•\overrightarrowhaydc1g$的最大值；
（3）設函數f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrowf6tft8i$），將函數f（x）的圖象向右平移s個長度單位，向上平移t個長度單位（s，t＞0）后得到函數g（x）的圖象，且g（x）=2sin2x+1，令$\overrightarrow{m}$=（s，t），求|$\overrightarrow{m}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）當x=-$\frac{π}{4}$時，由cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{1}{2}$，可得向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ的值．
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求得sin（2x-$\frac{π}{4}$）的范圍，再根據$\overrightarrow{c}•\overrightarrowwhtblir$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，可得它的最大值．
（3）利用三角恒等變換化簡函數的解析式為 f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrowssezykl$）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），再根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得函數g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$-2s）+t，結合 g（x）=2sin2x+1，可得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{π}{12}$-kπ，1），從而求得|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{（\frac{π}{12}-kπ）}^{2}+1}$ 的最小值．

解答 解：已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$cosx，cosx），$\overrightarrow$=（0，sinx），$\overrightarrow{c}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow1lxphu2$=（sinx，sinx）
（1）當x=-$\frac{π}{4}$時，由cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{0-sinxcosx}{2|cosx|•|sinx|}$=$\frac{-sin（-\frac{π}{4}）•cos（-\frac{π}{4}）}{2cos\frac{π}{4}•sin\frac{π}{4}}$=$\frac{1}{2}$，可得向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ=$\frac{π}{3}$．
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]．
根據$\overrightarrow{c}•\overrightarrowdxhk2kk$=sin²x+sinxcosx=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
可得當2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，$\overrightarrow{c}•\overrightarrowx6qjtwz$=sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$取得最大值為$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．
（3）函數f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrowrp12y7f$）=（$\sqrt{3}$cosx，cosx-sinx）•（2sinx，sinx+cosx）
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-sin²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
將函數f（x）的圖象向右平移s個長度單位，可得函數y=2sin[2（x-s）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{6}$-2s） 的圖象；
再把所得圖象向上平移t個長度單位（s，t＞0）后得到函數g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$-2s）+t的圖象，
結合 g（x）=2sin2x+1，可得t=1，$\frac{π}{6}$-2s=0+2kπ，s=$\frac{π}{12}$-kπ，k∈Z．
令$\overrightarrow{m}$=（s，t），則$\overrightarrow{m}$=（$\frac{π}{12}$-kπ，1），∴當k=0時，|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{（\frac{π}{12}-kπ）}^{2}+1}$ 取得最小值為$\sqrt{{（\frac{π}{12}）}^{2}+1}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數量積公式，三角恒等變換，正弦函數的定義域和值域，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．