Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$cosx，cosx），$\overrightarrow$=（0，sinx），$\overrightarrow{c}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow25cpxzm$=（sinx，sinx）
（1）當(dāng)x=-$\frac{π}{4}$時(shí)，求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求$\overrightarrow{c}•\overrightarrow1cum5eb$的最大值；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrowy1l6n15$），將函數(shù)f（x）的圖象向右平移s個(gè)長(zhǎng)度單位，向上平移t個(gè)長(zhǎng)度單位（s，t＞0）后得到函數(shù)g（x）的圖象，且g（x）=2sin2x+1，令$\overrightarrow{m}$=（s，t），求|$\overrightarrow{m}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x=-$\frac{π}{4}$時(shí)，由cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{1}{2}$，可得向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ的值．
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求得sin（2x-$\frac{π}{4}$）的范圍，再根據(jù)$\overrightarrow{c}•\overrightarrow6kgzwy6$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，可得它的最大值．
（3）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為 f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrowqdqiaxe$）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得函數(shù)g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$-2s）+t，結(jié)合 g（x）=2sin2x+1，可得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{π}{12}$-kπ，1），從而求得|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{（\frac{π}{12}-kπ）}^{2}+1}$ 的最小值．

解答 解：已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$cosx，cosx），$\overrightarrow$=（0，sinx），$\overrightarrow{c}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow5fs6ybo$=（sinx，sinx）
（1）當(dāng)x=-$\frac{π}{4}$時(shí)，由cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{0-sinxcosx}{2|cosx|•|sinx|}$=$\frac{-sin（-\frac{π}{4}）•cos（-\frac{π}{4}）}{2cos\frac{π}{4}•sin\frac{π}{4}}$=$\frac{1}{2}$，可得向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ=$\frac{π}{3}$．
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]．
根據(jù)$\overrightarrow{c}•\overrightarrows6ol1s6$=sin²x+sinxcosx=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
可得當(dāng)2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，$\overrightarrow{c}•\overrightarrow0miaslx$=sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$取得最大值為$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．
（3）函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrowl0ebso1$）=（$\sqrt{3}$cosx，cosx-sinx）•（2sinx，sinx+cosx）
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-sin²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
將函數(shù)f（x）的圖象向右平移s個(gè)長(zhǎng)度單位，可得函數(shù)y=2sin[2（x-s）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{6}$-2s） 的圖象；
再把所得圖象向上平移t個(gè)長(zhǎng)度單位（s，t＞0）后得到函數(shù)g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$-2s）+t的圖象，
結(jié)合 g（x）=2sin2x+1，可得t=1，$\frac{π}{6}$-2s=0+2kπ，s=$\frac{π}{12}$-kπ，k∈Z．
令$\overrightarrow{m}$=（s，t），則$\overrightarrow{m}$=（$\frac{π}{12}$-kπ，1），∴當(dāng)k=0時(shí)，|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{（\frac{π}{12}-kπ）}^{2}+1}$ 取得最小值為$\sqrt{{（\frac{π}{12}）}^{2}+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．