Question

【題目】如圖,在長(zhǎng)方體中,點(diǎn)分別是棱,上的動(dòng)點(diǎn),,直線與平面所成的角為,則△的面積的最小值是________.

Answer 1

【答案】8

【解析】

以C為原點(diǎn)，CD，CB，CC′為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（0，a，0），Q（b，0，0），求出平面PQC′的法向量，則由解出a,b的關(guān)系式，利用基本不等式得出的面積的最小值，再利用等體積法求出△的面積的最小值.

以C為原點(diǎn)，CD，CB，CC′為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則C（0，0，0）， 設(shè)P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3．

設(shè)平面PQC′的一個(gè)法向量為 則

，令z=1，得

，

，解得ab≥8(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)，
∴當(dāng)ab=8時(shí)，S△PQC=4，棱錐C′-PQC的體積最小，
∵直線CC′與平面PQC′所成的角為30°，∴C到平面PQC′的距離d=2

∵VC′-PQC=VC-PQC′，.