Question

【題目】已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.

（1）當(dāng)，求圖象在處的切線方程；

（2）設(shè)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求得取值范圍；

（3）若的極大值和極小值分別為、，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析；

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，由，即可得到的值可求出，進(jìn)而得到函數(shù)函數(shù)的解析式，得到，則函數(shù)在處的切線的方程可求出；

（2）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，可得或恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可，

（3）先設(shè)，為方程的兩個實數(shù)根，由韋達(dá)定理得到，由于的極大值和極小值分別為，，可求出參數(shù)的范圍，將，進(jìn)而求出，即得證．

解：（1），

，

，

，即，

，

， ，

圖象在處的切線的方程為，即；

（2）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，

或恒成立，

即或，

因為不恒成立

所以在定義域上恒成立

設(shè)，，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

，，；

（3）設(shè)，為方程的兩個實數(shù)根，

則，

由題意，得，解得；

則

，

令，則，

故當(dāng)時，，是減函數(shù)，

則，

即．