Question

11．（1）已知命題p：關(guān)于x的不等式x²+（m-1）x+m²≤0的解集為Φ；命題q：方程x²+（2m-1）x+m²=0的兩個根一個大于1，一個小于1；當(dāng)p∨q為假時，求m的范圍．
（2）已知p：x²-8x-20≤0，q：x²-2x+1-m²≤0，（m＞0），且￢p是￢q必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于命題p：關(guān)于x的不等式x²+（m-1）x+m²≤0的解集為∅，可得△＜0，解得m范圍；命題q：設(shè)方程x²+（2m-1）x+m²=0的兩個根分別為x₁，x₂，則（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1＜0，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出m的取值范圍．當(dāng)p∨q為假時，p與q都是假命題，即可得出．
（2）由于￢p是￢q必要不充分條件，可得p是q的充分不必要條件．分別解出即可得出．

解答 解：（1）由于命題p：關(guān)于x的不等式x²+（m-1）x+m²≤0的解集為∅，∴△=（m-1）²-4m²＜0，解得$m＞\frac{1}{3}$或m＜-1；
命題q：設(shè)方程x²+（2m-1）x+m²=0的兩個根分別為x₁，x₂，則（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1＜0，∴m²+（2m-1）+1＜0，解得-2＜m＜0．
當(dāng)p∨q為假時，p與q都是假命題，∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤m≤\frac{1}{3}}\\{m≤-2或m≥0}\end{array}\right.$，解得$0≤m≤\frac{1}{3}$．
∴m的范圍是$[0，\frac{1}{3}]$．
（2）∵￢p是￢q必要不充分條件，∴p是q的充分不必要條件．
由p：x²-8x-20≤0，解得-2≤x≤10．
q：x²-2x+1-m²≤0，（m＞0），∴m$≥\sqrt{（x-1）^{2}}$，∴m≥9．
∴實數(shù)m的取值范圍是[9，+∞）．

點評 本題考查了復(fù)合命題真假的判定方法、函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．