Question

14．在極坐標(biāo)系中，射線(xiàn)$l：θ=\frac{π}{6}$與圓C：ρ=2交于點(diǎn)A，橢圓Γ的方程為：${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy．
（Ⅰ）求點(diǎn)A的直角坐標(biāo)和橢圓Γ的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若E為橢圓Γ的下頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓Γ上任意一點(diǎn)，求$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出點(diǎn)A極坐標(biāo)，即可求點(diǎn)A的直角坐標(biāo)，求出橢圓的直角坐標(biāo)方程，即可求橢圓Γ的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若E為橢圓Γ的下頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓Γ上任意一點(diǎn)，求出向量的坐標(biāo)，即可求$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的最大值．

解答 解：（Ⅰ）射線(xiàn)$l：θ=\frac{π}{6}$與圓C：ρ=2交于點(diǎn)$A（{2，\frac{π}{6}}）$，
點(diǎn)A的直角坐標(biāo)$（{\sqrt{3}，1}）$；
橢圓Γ的方程為${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，直角坐標(biāo)方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）；
（Ⅱ）設(shè)$F（{\sqrt{3}cosθ，sinθ}）$，∵E（0，-1），
∴$\overrightarrow{AE}=（{-\sqrt{3}，-2}）$，$\overrightarrow{AF}=（{\sqrt{3}cosθ-\sqrt{3}，sinθ-1}）$，∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=-3cosθ+3-2（{sinθ-1}）$
=$\sqrt{13}sin（{θ+α}）+5$，
當(dāng)sin（θ+α）=1時(shí)，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的最大值為$\sqrt{13}+5$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．