Question

16．某公司科技小組研發(fā)一個(gè)新項(xiàng)目，預(yù)計(jì)能獲得不少于1萬(wàn)元且不多于5萬(wàn)元的投資收益，公司擬對(duì)研發(fā)小組實(shí)施獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)金額y（單位：萬(wàn)元）和投資收益x（單位：萬(wàn)元）近似滿足函數(shù)y=f（x），獎(jiǎng)勵(lì)方案滿足如下兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：①f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，②0≤f（x）≤kx，其中k＞0．
（1）若$k=\frac{1}{2}$，試判斷函數(shù)$f（x）=\sqrt{x}$是否符合獎(jiǎng)勵(lì)方案，并說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=lnx符合獎(jiǎng)勵(lì)方案，求實(shí)數(shù)k的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷結(jié)論即可；
（2）設(shè)$g（x）=\frac{lnx}{x}$，x∈[1，5]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，求出k的范圍即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{x}$，∴$f'（x）=\frac{1}{{2\sqrt{x}}}＞0$，
∴函數(shù)$f（x）=\sqrt{x}$是區(qū)間[1，5]上的單調(diào)遞增函數(shù)，滿足標(biāo)準(zhǔn)①，…（2分）
當(dāng)x∈[1，4）時(shí)，$f（x）=\sqrt{x}=\frac{1}{{\sqrt{x}}}•x＞\frac{1}{2}x$，不滿足標(biāo)準(zhǔn)②，
綜上所述：$f（x）=\sqrt{x}$不符合獎(jiǎng)勵(lì)方案．                              …（4分）
（2）∵函數(shù)f（x）=lnx符合獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)，
∴f（x）≤kx，即lnx≤kx，∴$k≥\frac{lnx}{x}$，…（6分）
∴設(shè)$g（x）=\frac{lnx}{x}$，x∈[1，5]，∴$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，
令g'（x）=0，∴x=e，
x，g′（x），g（x）的變化如下：

x	（1，e）	e	（e，5）
g'（x）	+	0	$\_$
g（x）	增	極大值	減

…（8分）
∴$g（x）=\frac{lnx}{x}$的極大值是$g（e）=\frac{1}{e}$，且為最大值，
∴$k≥\frac{1}{e}$，…（10分）
又∵函數(shù)f（x）=lnx，x∈[1，5]，
∴$f'（x）=\frac{1}{x}＞0$，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，5]上單調(diào)遞增，滿足標(biāo)準(zhǔn)①，
∵x∈[1，5]，∴f（x）=lnx≥0，
綜上所述：實(shí)數(shù)k的最小值是$\frac{1}{e}$．                                    …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．