Question

6．函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{k}{x}，k∈R$．若曲線y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線x-2=0垂直，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間和極小值（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線方程求出k的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值即可．

解答 解：由條件得$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{k}{x^2}（{x＞0}）$，…（2分）
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線x-2=0垂直，
∴此切線的斜率為0，即f'（e）=0，有$\frac{1}{e}-\frac{k}{e^2}=0$，得k=e，…（4分）
∴$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{e}{x^2}=\frac{x-e}{x^2}（{x＞0}）$，
由f'（x）＜0得0＜x＜e，由f'（x）＞0得x＞e． …（6分）
∴f（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增，…（8分）
當(dāng)x=e時(shí)，f（x）取得極小值$f（e）=lne+\frac{e}{e}=2$．
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，e），極小值為2． …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．