Question

1．已知下列命題：
①向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不共線，則向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$一定不共線
②對任意向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||恒成立
③在同一平面內(nèi)，對兩兩均不共線的向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，若給定單位向量$\overrightarrow$和正數(shù)λ，總存在單位向量$\overrightarrow{c}$和實數(shù)μ，使得$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{c}$+μ$\overrightarrow$
則正確的序號為（　　）

• A． ①②③
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②

Answer 1

分析 ①用反證法證明向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$不共線，①正確；
②利用絕對值三角不等式，即可推出②正確；
③根據(jù)平面向量的基本定理，結(jié)合λ為正數(shù)，得出③錯誤．

解答 解：對于①，假設(shè)向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$共線，則$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=λ（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），λ∈R，
∴（λ-1）$\overrightarrow{a}$=（λ+1）$\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}$=$\frac{λ+1}{λ-1}$$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線，即$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$不共線，①正確；
對于②，對任意向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{a}$|=|（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）+$\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|+|$\overrightarrow$|
∴|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|
∴||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，
即|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||恒成立，②正確；
對于③，∵λ為正數(shù)，∴λ$\overrightarrow{c}$+μ$\overrightarrow$代表與原向量同向的且有固定長度的向量，
這使得向量$\overrightarrow{a}$不一定能用兩個單位向量的組合表示出來，
故不一定能使得$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{c}$+μ$\overrightarrow$，③錯誤．
綜上，正確的命題序號為①②．
故選：D．

點評 本題考查了命題真假的判斷問題，也考查了平面向量的應(yīng)用問題，是綜合題．