Question

關(guān)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），以下說(shuō)法正確的有

 

．
①f（x）可能無(wú)零點(diǎn)；
②f（x）一定是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心一定在f（x）的圖象上；
③f（x）至多有2個(gè)極值點(diǎn)；
④當(dāng)f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x₁，x₂，且

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

＜1，f（x₁）=x₁，則方程3a[f（x）]²+2bf（x）+c=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3個(gè)或4個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的圖象和性質(zhì)，分析函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，對(duì)稱中心的坐標(biāo)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，及方程3a[f（x）]²+2bf（x）+c=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），至少存在一個(gè)零點(diǎn)，最多有三個(gè)零點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f″（x）=6a×（-

b

3a

）+2b=0，
∴任意三次函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)（-

b

3a

，f（-

b

3a

））對(duì)稱，即②正確；
f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），可能沒(méi)有極值點(diǎn)，也可有一個(gè)極大值點(diǎn)，一個(gè)極小值點(diǎn)，故f（x）至多有2個(gè)極值點(diǎn)，故③正確；
若f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x₁，x₂，則x₁，x₂為方程3ax²+2bx+c=0的兩個(gè)不相等的實(shí)根，
不妨令x₁＜x₂，由f（x₁）=x₁，得存在x₃＞x₂使f（x₃）=x₁，即x₁，x₃為方程3a[f（x）]²+2bf（x）+c=0的不同實(shí)根，
此時(shí)f（x）=x₂只有一個(gè)根，
綜上方程3a[f（x）]²+2bf（x）+c=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3個(gè)，故④錯(cuò)誤；
故答案為：②③

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度較大，綜合性可，運(yùn)算量大，屬于難題．