Question

關(guān)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），以下說法正確的有

 

．
①f（x）可能無零點；
②f（x）一定是中心對稱圖形，且對稱中心一定在f（x）的圖象上；
③f（x）至多有2個極值點；
④當f（x）有兩個不同的極值點x₁，x₂，且

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

＜1，f（x₁）=x₁，則方程3a[f（x）]²+2bf（x）+c=0的不同實根個數(shù)為3個或4個．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的圖象和性質(zhì)，分析函數(shù)零點的個數(shù)，對稱中心的坐標，極值點的個數(shù)，及方程3a[f（x）]²+2bf（x）+c=0的不同實根個數(shù)，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），至少存在一個零點，最多有三個零點，故①錯誤；
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f″（x）=6a×（-

b

3a

）+2b=0，
∴任意三次函數(shù)都關(guān)于點（-

b

3a

，f（-

b

3a

））對稱，即②正確；
f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），可能沒有極值點，也可有一個極大值點，一個極小值點，故f（x）至多有2個極值點，故③正確；
若f（x）有兩個不同的極值點x₁，x₂，則x₁，x₂為方程3ax²+2bx+c=0的兩個不相等的實根，
不妨令x₁＜x₂，由f（x₁）=x₁，得存在x₃＞x₂使f（x₃）=x₁，即x₁，x₃為方程3a[f（x）]²+2bf（x）+c=0的不同實根，
此時f（x）=x₂只有一個根，
綜上方程3a[f（x）]²+2bf（x）+c=0的不同實根個數(shù)為3個，故④錯誤；
故答案為：②③

點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度較大，綜合性可，運算量大，屬于難題．