Question

一中食堂有一個面食窗口，假設(shè)學(xué)生買飯所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往學(xué)生買飯所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下：

買飯時間（分）	1	2	3	4	5
頻率	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

從第一個學(xué)生開始買飯時計時．
（理科）（1）估計第三個學(xué)生恰好等待4分鐘開始買飯的概率；
       （2）X表示至第2分鐘末已買完飯的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（文科）（1）求第2分鐘末沒有人買晚飯的概率；
       （2）估計第三個學(xué)生恰好等待4分鐘開始買飯的概率．

Answer 1

考點：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（理科）（1）設(shè)Y表示學(xué)生買飯所需的時間，用頻率估計概率，先求出Y的分布列，A表示事件“第三個學(xué)生恰好等待4分鐘開始買飯”，分不同情況討論，能求出第三個學(xué)生恰好等待4分鐘開始買飯的概率．
（2）由已知條件，得X所有可能的取值為0，1，2，分別求出相對應(yīng)的概率，能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（文科）（1）記‘第2分鐘末沒有人買到飯’為A事件，即第一個學(xué)生買飯所需的時間超過2分鐘，由此能求出第2分鐘末沒有人買晚飯的概率．
（2）A表示事件“第三個學(xué)生恰好等待4分鐘開始買飯”，分不同情況討論，能求出第三個學(xué)生恰好等待4分鐘開始買飯的概率．

解答： （理科）（1）解：設(shè)Y表示學(xué)生買飯所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布列如下：

Y	1	2	3	4	5
P	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

A表示事件“第三個學(xué)生恰好等待4分鐘開始買飯”，則事件A對應(yīng)三種情形：
①第一個學(xué)生買飯所需的時間為1分鐘，
且第二個學(xué)生買飯所需的時間為3分鐘；
②第一個學(xué)生買飯所需的時間為3分鐘，
且第二個學(xué)生買飯所需的時間為1分鐘；
③第一個和第二個學(xué)生買飯所需的時間均為2分鐘．
所以P（A）=P（Y=1）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=1）+P（Y=2）P（Y=2）
=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22…．（6分）
（2）X所有可能的取值為0，1，2，
X=0對應(yīng)第一個學(xué)生買飯所需的時間超過2分鐘，
所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；
X=1對應(yīng)第一個學(xué)生買飯所需的時間為1分鐘，且第二個學(xué)生買飯所需的時間超過1分鐘，
或第一個學(xué)生買飯所需的時間為2分鐘．
所以P（X=1）=P（Y=1）P（Y＞1）+P（Y=2）
=0.1×0.9+0.4=0.49；
X=2對應(yīng)兩個學(xué)生買飯所需時間均為1分鐘，
所以P（X=2）=P（Y=1）P（Y=1）=0.1×0.1=0.01．
所以X的分布列為

X	0	1	2
P	0.5	0.49	0.01

EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51…（12分）
（文科）（1）記‘第2分鐘末沒有人買到飯’為A事件，
即是第一個學(xué)生買飯所需的時間超過2分鐘，
所以p（A）=p（Y＞2）=0.5…..（6分）
（2）A表示事件“第三個學(xué)生恰好等待4分鐘開始買飯”，
則事件A對應(yīng)三種情形：
①第一個學(xué)生買飯所需的時間為1分鐘，且第二個學(xué)生買飯所需的時間為3分鐘；
②第一個學(xué)生買飯所需的時間為3分鐘，且第二個學(xué)生買飯所需的時間為1分鐘；
③第一個和第二個學(xué)生買飯所需的時間均為2分鐘．
所以P（A）=P（Y=1）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=1）+P（Y=2）P（Y=2）
=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22…（12分）

點評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型之一，解題時要注意排列組合知識的合理運用，是中檔題．