Question

19．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（3+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，且a=3，則△ABC面積的最大值為$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．

Answer 1

分析 由（3+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，a=3，利用正弦定理可得（a+b）（a-b）=（c-b）c，化簡利用余弦定理可得A，再利用余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：∵（3+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，a=3，
∴（a+b）（a-b）=（c-b）c，
∴b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
∴b²+c²=9+bc≥2bc，化為bc≤9，當且僅當b=c=3時取等號．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$$≤\frac{1}{2}×9×sin\frac{π}{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故最大值為：$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．