Question

8．如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．
（1）判斷AE與PD是否垂直，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)PA=AB=2，三棱錐E-PCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由三線合一可得AE⊥AD，由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AE，故AE⊥平面PAD，于是AE⊥PD；
（2）把△ECD作棱錐的底面，求出三角形ECD的面積，代入體積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）AE⊥PD，證明如下：
∵底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，∵BC∥AD，
∴AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，又PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，
∴AE⊥PD．
（2）EC=$\frac{1}{2}AB=1$，CD=2．
∵∠ABC=60°，∴∠ECD=120°，
∴S_△ECD=$\frac{1}{2}×EC×CD×sin∠ECD$=$\frac{1}{2}×1×2×sin120°=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴三棱錐E-PCD的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△ECD}×PA$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判定，棱錐的結(jié)構(gòu)特征與體積計(jì)算，屬于中檔題．