Question

5．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，其中a₂+a₃=8，a₅=3a₂．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，設(shè){b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．求最小的正整數(shù)n，使得${S_n}＞\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得首項(xiàng)和公差的方程，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；
（2）求得${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，再解不等式，即可得到所求n的最小值．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
依a₂+a₃=8，a₅=3a₂，
有$\left\{\begin{array}{l}2{a_1}+3d=8\\{a_1}+4d=3{a_1}+3d\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
從而{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=2n-1，n∈{N^*}$；                                
（2）因?yàn)?{b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
所以 ${S_n}=（{\frac{1}{1}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$
=$1-\frac{1}{2n+1}$．                                                              
令 $1-\frac{1}{2n+1}＞\frac{2016}{2017}$，
解得n＞1008，
故n的最小值為1009．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，注意運(yùn)用方程思想，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．