Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2sinθ•x-1（θ為常數(shù)），x∈[-

3

2

，

1

2

]．
（1）若f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是單調增函數(shù)，求θ的取值范圍；
（2）當θ∈[0，

π

2

]時，求f（x）的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,三角函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系，即可求得結論；
（2）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，進而求得最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=2x+2sinθ，
∵f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是單調增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在x∈[-

3

2

，

1

2

]上恒成立，則有
sinθ≥-x在x∈[-

3

2

，

1

2

]上恒成立，
又∵（-x）_max=

3

2

，
∴sinθ≥

3

2

，
∴θ∈[

π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ]，k∈Z；
（2）∵f′（x）=2x+2sinθ=2（x+sinθ），
∴f″（x）=2＞0，
∴f′（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是增函數(shù)，
∴當x=-

3

2

時，f′（x）_min=-

3

+2sinθ，
當x=

1

2

時，f′（x）_max=1+2sinθ，
∴θ∈[

π

3

，

π

2

]時，f′（x）≥0，
此時f（x）_min=f（-

3

2

）=-

3

sinθ-

1

4

，
當θ∈[0，

π

3

]時，f′（x）≤0，
∴f(x)min=

- 3 sinθ- 1 4 ，θ∈[ π 3 ， π 2 ] -sin2θ-1，θ∈[0， π 3 )

．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及最值問題，考查學生的運算能力及等價轉化能力，屬難題．