Question

已知向量

a

=（cosx，-

1

2

），

b

=（

3

sinx，cos2x），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用數(shù)量積運算可得函數(shù)f（x）=

a

•

b

=sin(2x-

π

6

)．再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（Ⅱ）當x∈[0，

π

2

]時，(2x-

π

6

)∈[-

π

6

，

5π

6

]，可得-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1．即可得出．

解答： 解：（Ⅰ） 函數(shù)f（x）=

a

•

b

=

3

sinxcosx-

1

2

cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴f(x)=sin(2x-

π

6

)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)．
（Ⅱ）當x∈[0，

π

2

]時，(2x-

π

6

)∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1．
∴f （x） 在[0，

π

2

]上的最大值和最小值分別為1，-

1

2

．

點評：本題考查了數(shù)量積運算、正弦函數(shù)的單調(diào)性、倍角公式、兩角和差的正弦公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．