若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面,則該圓錐的體積為(  )
分析:根據(jù)圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的半圓的半徑,由半圓面的面積求出弧圓錐母線長,由半圓弧長等于圓錐的底面周長求出圓錐的底面半徑,在由圓錐的高、底面半徑和母線圍成的直角三角形中利用勾股定理求圓錐的高,則圓錐的體積可求.
解答:解:設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l.如圖,
由圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面,得
1
2
πl2=2π
,
所以l=2.
又半圓的弧長為πl(wèi),圓錐的底面周長為2πr,
所以πl(wèi)=2πr,得r=
1
2
l=
1
2
×2=1

所以圓錐的高h=SO=
SA2-OA2
=
22-12
=
3

所以圓錐的體積為
1
3
πr2h=
1
3
π•1•
3
=
3
π
3

故選B.
點評:本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征,考查圓錐體積的計算,解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握圓錐的母線長及底面周長與展開圖之間的關(guān)系,是基礎(chǔ)題
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π
3
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