Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$+ax-b，g（x）=2x，當(dāng)x=1+$\sqrt{2}$時，f（x）取得極值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-3，4]時，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有三個公共點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)的解析式，利用函數(shù)在極值點的導(dǎo)數(shù)等于0，可求出a的值．
（II）設(shè)f（x）=g（x），則得$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x-b=0$．設(shè)$F（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x-b$，由F'（x）的符號判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，從而求出F（x）的值域，由題意得，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有3個公共點，從而得到b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意  f'（x）=x²-2x+a…2分
∵當(dāng)$x=1+\sqrt{2}$時，f（x）取得極值，
∴所以 $f'（1+\sqrt{2}）=0$
∴${（{1+\sqrt{2}}）^2}-2（{1+\sqrt{2}}）+a=0$
∴即：a=-1…4分
（Ⅱ）由f（x）=g（x），得$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x-b=0$，設(shè)$F（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x-b$…5分，
則：F'（x）=x²-2x-3，令F'（x）=x²-2x-3=0，
解得x=-1或x=3，…6分
∴函數(shù)F（x）在（-3，-1）和（3，4）上是增函數(shù)，在（-1，3）上是減函數(shù)．
∴當(dāng)x=-1時，F(xiàn)（x）有極大值$F（-1）=\frac{5}{3}-b$；當(dāng)x=3時，F(xiàn)（x）有極小值F（3）=-9-b…10分，
∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在區(qū)間[-3，4]有三個公共點，
∴函數(shù)F（x）在區(qū)間[-3，4]有三個零點，…12分
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-9-b＜0}\\{-\frac{20}{3}-b≥0}\end{array}}\right.$解得$-9＜b≤-\frac{20}{3}$，
∴b的取值范圍為$（-9，-\frac{20}{3}]$…14分．

點評 本題考查函數(shù)在極值點的導(dǎo)數(shù)等于0，利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間、極值，求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，屬于中檔題．