Question

18．已知$x∈（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，則（1-2x）x²（1+2x）的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． $\frac{1}{16}$
• D． $\frac{1}{32}$

Answer 1

分析 換元t=4x²∈[0，1），恒等變形得出1-2x）x²（1+2x）=$\frac{1}{4}$×（1-t）t利用基本不等式求解即可．

解答 解：∵$x∈（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，
∴t=4x²∈[0，1），
∴（1-2x）x²（1+2x）=$\frac{1}{4}$×（1-t）t$≤\frac{1}{4}$×$\frac{（1-t+t）^{2}}{4}$=$\frac{1}{16}$（t=$\frac{1}{2}$時等號成立），
∵t=$\frac{1}{2}$時，x=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴當x=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$時，（1-2x）x²（1+2x）的最大值為$\frac{1}{16}$，
故選：C．

點評 本題考察了換元法轉為基本不等式求解最大值問題，關鍵是構造條件，等號是否成立，