Question

8．已知函數(shù)f（x）=cos$（2ωx+\frac{π}{3}）$+$\frac{1}{2}$ （ω＞0）的最小正周期是π．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心；
（2）若A為鈍角三角形ABC的最小內(nèi)角，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由周期公式可求ω，從而可得函數(shù)解析式f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，由-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，即可解得單調(diào)遞增區(qū)間．令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，即可解得對稱中心．
（2）由0＜A＜$\frac{π}{3}$，可得范圍$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜π，由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得f（A）的取值范圍．

解答 解：（1）∵T=$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
∴f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
由-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，得-$\frac{2π}{3}$+kπ≤x≤-$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{2π}{3}$+kπ，-$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．
令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，∴x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
∴對稱中心為（$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{1}{2}$），k∈Z．
（2）依題意，得0＜A＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜π，∴-1＜cos（2A+$\frac{π}{3}$）＜$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜cos（2A+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$＜1，
∴f（A）的取值范圍為$（-\frac{1}{2}，1）$．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的化簡求值，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．