Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），離心率e=

2

2

，A，B是橢圓上的動點．
（1）求橢圓標準方程；
（2）若直線OA與OB的斜率乘積k_OA•k_OB=-

1

2

，動點P滿足

OP

=

OA

+λ

OB

，（其中實數λ為常數）．問是否存在兩個定點F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|=4？若存在，求F₁，F₂的坐標及γ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題設可知：

c=1 c a = 2 2

，可求a，再由b²=a²-c²可求b；
（2）只需判斷點P的軌跡是否為橢圓，且有|PF₁|+|PF₂|=4．設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由

OP

=

OA

+λ

OB

，得x=x₁+λx₂，y=y₁+λy₂，由點A、B在橢圓x²+2y²=2上，得x12+2y12=2，x22+2y22=2，再由kOA•kOB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，可得x²+2y²=2+2λ²，整理有

x2

2+2λ2

+

y2

1+λ2

=1，再由橢圓定義可求λ，進而得F₁，F₂；

解答： 解：（1）由題設可知：

c=1 c a = 2 2

，解得a=

2

，
又b²=a²-c²，∴b=1，
∴橢圓標準方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由

OP

=

OA

+λ

OB

，得x=x₁+λx₂，y=y₁+λy₂，
∵點A、B在橢圓x²+2y²=2上，∴x12+2y12=2，x22+2y22=2，
故x²+2y²=（x12+λ2x22+2λx₁x₂）+2（y12+λ2y22+2λy₁y₂）
=（x12+2y12）+λ²（x22+2y22）+2λ（x₁x₂+2y₁y₂）
=2+2λ²+2λ（x₁x₂+2y₁y₂）
由題設條件知kOA•kOB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，因此x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴x²+2y²=2+2λ²，即

x2

2+2λ2

+

y2

1+λ2

=1，
∴P點是橢圓

x2

2+2λ2

+

y2

1+λ2

=1上的點，設該橢圓的左、右焦點為F₁，F₂，
則由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2

2+2λ2

=4，
∴λ=±1，
又c=

1+λ2

=

2

，因此兩焦點的坐標為F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0）．

點評：該題考查橢圓的方程、性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量的線性運算，考查學生的運算求解能力、分析解決問題的能力．