Question

（本小題滿分14分）已知為常數(shù)，且，函數(shù)的最小值和函數(shù) 的最小值都是函數(shù)R的零點.

（1）用含的式子表示，并求出的取值范圍；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.

Answer 1

（1），；（2）最大值為，最小值為.

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)和的最小值，再利用函數(shù)的零點即可得用含的式子表示，進(jìn)而根據(jù)一元二次方程的根的分布情況即可得的取值范圍；（2）先對函數(shù)求導(dǎo)，再判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即可得函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.

試題解析：（1）解：由于，，則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，. 1分

，當(dāng)時，.

2分

∵，

∴，.

由于，結(jié)合題意，可知，

方程的兩根是，， 3分

故，. 4分

∴.

∴. 5分

而方程的一個根在區(qū)間上，另一個根在區(qū)間上.

令，

則 6分

即解得 7分

∴. 8分

∴，.

求的取值范圍的其它解法：

另法1：由，得， 6分

∵，

∴． ７分

∵，

∴． 8分

另法2：設(shè)，，

則， 6分

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．

∴． ７分

∴． 8分

（2）【解析】
由（1）得，則. 9分

∵，

∴二次函數(shù)的開口向下，對稱軸.

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. 10分

又， 11分

∴當(dāng)時，.

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. 12分

∴函數(shù)的最大值為，最小值為. 14分

考點：1、利用導(dǎo)數(shù)研究在閉區(qū)間上函數(shù)的最值；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3、函數(shù)的零點；4、基本不等式；5、一元二次方程的根的分布.

考點分析： 考點1：函數(shù)與方程 試題屬性

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