Question

20．平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，拋物線E：x²=2y的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線l與C交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M．
（i）求證：點(diǎn)M在定直線上；
（ii）直線l與y軸交于點(diǎn)G，記△PFG的面積為S₁，△PDM的面積為S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用橢圓的離心率公式和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及橢圓的a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進(jìn)而得到橢圓的方程；
（Ⅱ）（i）設(shè)P（x₀，y₀），運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率和方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得中點(diǎn)D的坐標(biāo)，求得OD的方程，再令x=x₀，可得y=-$\frac{1}{4}$．進(jìn)而得到定直線；
（ii）由直線l的方程為y=x₀x-y₀，令x=0，可得G（0，-y₀），運(yùn)用三角形的面積公式，可得S₁=$\frac{1}{2}$|FG|•|x₀|=$\frac{1}{2}$x₀•（$\frac{1}{2}$+y₀），S₂=$\frac{1}{2}$|PM|•|x₀-$\frac{4{x}_{0}{y}_{0}}{1+4{{x}_{0}}^{2}}$|，化簡整理，再1+2x₀²=t（t≥1），整理可得t的二次方程，進(jìn)而得到最大值及此時(shí)P的坐標(biāo)．

解答 解：（I）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，拋物線E：x²=2y的焦點(diǎn)F為（0，$\frac{1}{2}$），
即有b=$\frac{1}{2}$，a²-c²=$\frac{1}{4}$，
解得a=1，c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得橢圓的方程為x²+4y²=1；
（Ⅱ）（i）證明：設(shè)P（x₀，y₀），可得x₀²=2y₀，
由y=$\frac{1}{2}$x²的導(dǎo)數(shù)為y′=x，即有切線的斜率為x₀，
則切線的方程為y-y₀=x₀（x-x₀），
可化為y=x₀x-y₀，代入橢圓方程，
可得（1+4x₀²）x²-8x₀y₀x+4y₀²-1=0，
△=64x₀²y₀²-4（1+4x₀²）（4y₀²-1）＞0，可得1+4x₀²＞4y₀²．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{8{x}_{0}{y}_{0}}{1+4{{x}_{0}}^{2}}$，即有中點(diǎn)D（$\frac{4{x}_{0}{y}_{0}}{1+4{{x}_{0}}^{2}}$，-$\frac{{y}_{0}}{1+4{{x}_{0}}^{2}}$），
直線OD的方程為y=-$\frac{1}{4{x}_{0}}$x，可令x=x₀，可得y=-$\frac{1}{4}$．
即有點(diǎn)M在定直線y=-$\frac{1}{4}$上；
（ii）直線l的方程為y=x₀x-y₀，令x=0，可得G（0，-y₀），
則S₁=$\frac{1}{2}$|FG|•|x₀|=$\frac{1}{2}$x₀•（$\frac{1}{2}$+y₀）=$\frac{1}{4}$x₀（1+x₀²）；
S₂=$\frac{1}{2}$|PM|•|x₀-$\frac{4{x}_{0}{y}_{0}}{1+4{{x}_{0}}^{2}}$|=$\frac{1}{2}$（y₀+$\frac{1}{4}$）•$\frac{{x}_{0}+4{{x}_{0}}^{3}-4{x}_{0}{y}_{0}}{1+4{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{8}$x₀•$\frac{（1+2{{x}_{0}}^{2}）^{2}}{1+4{{x}_{0}}^{2}}$，
則$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{2（1+{{x}_{0}}^{2}）（1+4{{x}_{0}}^{2}）}{（1+2{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$，
令1+2x₀²=t（t≥1），則$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{2（1+\frac{t-1}{2}）（1+2t-2）}{{t}^{2}}$=$\frac{（t+1）（2t-1）}{{t}^{2}}$
=$\frac{2{t}^{2}+t-1}{{t}^{2}}$=2+$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{{t}^{2}}$=-（$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
則當(dāng)t=2，即x₀=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$取得最大值$\frac{9}{4}$，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，考查直線和拋物線斜的條件，以及直線方程的運(yùn)用，考查三角形的面積的計(jì)算，以及化簡整理的運(yùn)算能力，屬于難題．