Question

12．在（1+2x）¹⁰的展開式中．
（1）求系數(shù)最大的項；
（2）若x=2.5，則第幾項的值最大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)通項公式為T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^r•x^r，由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•2}^{r}{≥C}_{10}^{r-1}{•2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{•2}^{r}{≥C}_{10}^{r+1}{•2}^{r+1}}\end{array}\right.$ 求得整數(shù)r的值，可得系數(shù)最大的項．
（2）根據(jù)通項公式為T_r+1=${C}_{10}^{r}$•5^r，再由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•5}^{r}{≥C}_{10}^{r-1}{•5}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{•5}^{r}{≥C}_{10}^{r+1}{•5}^{r+1}}\end{array}\right.$，求得整數(shù)r的值，可得第幾項的值最大．

解答 解：（1）（1+2x）¹⁰的展開式的通項公式為T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^r•x^r，由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•2}^{r}{≥C}_{10}^{r-1}{•2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{•2}^{r}{≥C}_{10}^{r+1}{•2}^{r+1}}\end{array}\right.$，
求得$\frac{19}{3}$≤r≤$\frac{22}{3}$，∴r=7，即系數(shù)最大的項為第8項T₈=${C}_{10}^{7}$•2⁷•x³=15360x³．
（2）若x=2.5，則（1+2x）¹⁰的展開式的通項公式為T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^r•x^r=${C}_{10}^{r}$•5^r，
再由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•5}^{r}{≥C}_{10}^{r-1}{•5}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{•5}^{r}{≥C}_{10}^{r+1}{•5}^{r+1}}\end{array}\right.$，求得$\frac{49}{6}$≤r≤$\frac{55}{6}$，∴r=9，
即第10項的值最大．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質，屬于基礎題．