Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，滿足|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=0
（Ⅰ）求|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|的值；
（Ⅱ）求|$\overrightarrow{c}$|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量的數(shù)量積的運算和模的計算即可，
（Ⅱ）建立坐標系，得到則$\overrightarrow{c}$的軌跡為以（2，1）為圓心，以r=3為半徑的圓，即可求出最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+4|$\overrightarrow$|²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=16+16-0=32，
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=4$\sqrt{2}$
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
以$\overrightarrow{a}$所在的直線為x軸，$\overrightarrow$所在的直線為y軸，建立坐標系，
∵|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2，
∴$\overrightarrow{a}$=（4，0），$\overrightarrow$=（0，2），
設$\overrightarrow{c}$的坐標為（x，y），
∴$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$=（x-4，y），$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$=（x，y-2），
∵（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=0，
∴x（x-4）+y（y-2）=0，
即（x-2）²+（y-1）²=9，
則$\overrightarrow{c}$的軌跡為以（2，1）為圓心，以r=3為半徑的圓，
圓心到原點的距離d=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
故|$\overrightarrow{c}$|_最大值=d+r=3+$\sqrt{5}$

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的運算，本題解題的關鍵是寫出滿足條件的對應的點，根據(jù)數(shù)形結合思想求出向量的模長．