Question

15．直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于點(diǎn)D．
（1）證明：DB=DC；
（2）設(shè)圓的半徑為1，BC=3，延長CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造輔助線DE，交BC于點(diǎn)G．由弦切角定理，圓上的同弧，等弧的性質(zhì)，通過導(dǎo)角，可以得知∠CBE=∠BCE，BE=CE，又因?yàn)镈E為直徑，即∠DCE=90°，由勾股定理可證得DB=DC；
（2）由（1）可得DG是BC的中垂線，即可求得BG的長度．設(shè)DE的中點(diǎn)為O，連結(jié)BO，求得∠BOG=60°，通過導(dǎo)角，可得CF⊥BF，即可求得Rt△BCF外接圓的半徑．

解答 （1）證明：連結(jié)DE，交BC于點(diǎn)G．
由弦切角定理得，∠ABE=∠BCE．
而∠ABE=∠CBE，
故∠CBE=∠BCE，BE=CE．
又因?yàn)镈B⊥BE，
所以DE為直徑，∠DCE=90°，
由勾股定理可得DB=DC．
（2）解：由（1）知，∠CDE=∠BDE，DB=DC，
故DG是BC的中垂線，
所以BG=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
設(shè)DE的中點(diǎn)為O，連結(jié)BO，則∠BOG=60°．
從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，
所以CF⊥BF，
故Rt△BCF外接圓的半徑等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查弦切角定理和勾股定理，考查學(xué)生靈活轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．