Question

10．在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知A，B，C依次成等差數(shù)列，且$b=\sqrt{3}$，求a+c的取值范圍．

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可得B，由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得a+c=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），結(jié)合A的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求a+c的取值范圍．

解答 （本題滿分為10分）
解：∵角A，B，C成等差數(shù)列，可得：2B=A+C，又A+B+C=3B=π，
∴$B=\frac{π}{3}$…（2分）
根據(jù)正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，
∴a=2sinA，c=2sinC，
∴$a+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin（A+\frac{π}{3}）$=$2（\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA）=2\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$，…（6分）
又∵△ABC為銳角三角形，
則$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}，\frac{π}{3}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，…（8分）
∴$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$，
∴$a+c∈（3，2\sqrt{3}]$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．