19．設(shè)集合M⊆{1，2，…，2011}，滿足：在M的任意三個(gè)元素中，都可以找到兩個(gè)元素a，b，使得a|b或b|a，求|M|的最大值（其中|M|表示集合M的元素個(gè)數(shù)）

分析 當(dāng)M={1，2，22，23，…210，3，3×2，3×22，…，3×29}時(shí)滿足條件，此時(shí)|M|=21．利用反證法證明原式子成立．

解答 解：當(dāng)M={1，2，22，23，…210，3，3×2，3×22，…，3×29}時(shí)滿足條件，此時(shí)|M|=21
假設(shè)|M|≥22，設(shè)M中得元素為a1＜a2＜…＜ak（k≥22）
首先證明an+2≥2an，否則an＜an+1＜an+2＜2an，那么an，an+1，an+2中任意兩個(gè)元素之間沒(méi)有整數(shù)倍數(shù)關(guān)系，矛盾！
由上述結(jié)論知：a4≥2a2≥4，
a6≥2a4≥8，…${a}_{22}≥2{a}_{20}≥{2}^{11}＞2011$矛盾！
綜上，|M|的最大值為21．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了集合在代數(shù)中的綜合應(yīng)用，屬于難度較大的題型，常用作奧林匹克競(jìng)賽題目．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

9．某氣象站觀測(cè)點(diǎn)記錄的連續(xù)4天里，AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見(jiàn)度y（單位cm）的情況如下表1：
M900700300100
y0.53.56.59.5
哈爾濱市某月AQI指數(shù)頻數(shù)分布如下表2：
M[0，200]（200，400]（400，600]（600，800]（800，1000]
頻數(shù)361263
（1）設(shè)x=$\frac{M}{100}$，根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程；
（參考公式：$\hat y=\hat bx+\hat a$；其中$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\overline a=\overline y-\hat b\overline x$）
（2）小張開(kāi)了一家洗車(chē)店，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)M不高于200時(shí)，洗車(chē)店平均每天虧損約2000元；當(dāng)M在200至400時(shí)，洗車(chē)店平均每天收入約4000元；當(dāng)M大于400時(shí)，洗車(chē)店平均每天收入約7000元；根據(jù)表2估計(jì)小張的洗車(chē)店該月份平均每天的收入．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

10．若復(fù)數(shù)z=2-i （ i為虛數(shù)單位），則$\frac{10}{z}$=（　　）
A．4+2iB．20+10iC．4-2iD．$\frac{20}{3}+\frac{10}{3}i$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

7．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：
    xx1$\frac{1}{3}$x2$\frac{7}{3}$x3
ωx+φ0$\frac{π}{2}$π$\frac{3π}{2}$2π
Asin（ωx+φ）+B0$\sqrt{3}$0-$\sqrt{3}$0
（Ⅰ）請(qǐng)求出表中的x1，x2，x3的值，并寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移$\frac{2}{3}$個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]（3＜m＜4）上的圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為M，N，求向量$\overrightarrow{NM}$與$\overrightarrow{ON}$夾角θ的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

14．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為$\sqrt{3}$，則C的焦距等于（　�。�
A．2B．2$\sqrt{2}$C．2$\sqrt{3}$D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

4．函數(shù)y=cos2（x+$\frac{π}{2}$）的單調(diào)遞增區(qū)間（　�。�
A．（2kπ，2kπ+π）k∈ZB．（2kπ，2kπ+2π）k∈ZC．（kπ，kπ+$\frac{π}{2}$）k∈ZD．（kπ+$\frac{π}{2}$，kπ+π）k∈Z

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

11．已知定義在R上的函數(shù)f（x），g（x）滿足$\frac{f（x）}{g（x）}$=ax，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，若有窮數(shù)列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}（n∈N•）的前n項(xiàng)和等于$\frac{63}{64}$，則n=6．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

8．已知圓C的圓心在直線y=x-2上
（Ⅰ）若圓經(jīng)過(guò)A（3，-2）和B（0，-5）兩點(diǎn)．
（i）求圓C的方程；
（ii）設(shè)圓C與y軸另一交點(diǎn)為P，直線l過(guò)點(diǎn)P且與圓C相切．設(shè)D是圓C上異于P，B的動(dòng)點(diǎn)，直線BD與直線l交于點(diǎn)R．試判斷以PR為直徑的圓與直線CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，3），若圓C半徑為3，且圓C上存在點(diǎn)N，使|MN|=2|NO|，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

9．砷是廣泛分布于自然界中的非金屬元素，長(zhǎng)期飲用高砷水會(huì)直接危害群眾的身心健康和生命安全，而近水農(nóng)村地區(qū)，水質(zhì)情況更需要關(guān)注．為了解甲、乙兩地區(qū)農(nóng)村居民飲用水中砷含量的基本情況，分別在兩地隨機(jī)選取10個(gè)村子，其砷含量的調(diào)查數(shù)據(jù)如下（單位：mg/1000L）：
甲地區(qū)的10個(gè)村子飲用水中砷的含量：
52   32   41   72   43   35   45   61   53   44
乙地區(qū)的10個(gè)村子飲用水中砷的含量：
44   56   38   61   72   57   64   71   58   62
（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成莖葉圖，試比較兩個(gè)地區(qū)中哪個(gè)地區(qū)的飲用水中砷含量更高，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）國(guó)家規(guī)定居民飲用水中砷的含量不得超過(guò)50，現(xiàn)醫(yī)療衛(wèi)生組織決定向兩個(gè)地區(qū)中每個(gè)砷超標(biāo)的村子派駐一個(gè)醫(yī)療救助小組．用樣本估計(jì)總體，把頻率作為概率，若從乙地區(qū)隨機(jī)抽取3個(gè)村子，用X表示派駐的醫(yī)療小組數(shù)，試寫(xiě)出X的分布列并求X的期望．

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