Question

11．已知定義在R上的函數(shù)f（x），g（x）滿足$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，若有窮數(shù)列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}（n∈N^•）的前n項(xiàng)和等于$\frac{63}{64}$，則n=6．

Answer 1

分析 由$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$列出方程求出a的值，根據(jù)求導(dǎo)法則求出$[\frac{f（x）}{g（x）}]′$，結(jié)合條件判斷出導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可確定函數(shù)的單調(diào)性，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定a的值，代入$\frac{f（n）}{g（n）}$由條件和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出n的值．

解答 解：因?yàn)?\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，且$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，
所以a+${a}^{-1}=\frac{5}{2}$，化簡(jiǎn)得2a²-5a+2=0，解得a=$\frac{1}{2}$或2，
因?yàn)閒′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
所以$[\frac{f（x）}{g（x）}]′$=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，
則$\frac{f（x）}{g（x）}={a}^{x}$在定義域上單調(diào)遞減，故a=$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{f（n）}{g（n）}$=${（\frac{1}{2}）}^{n}$，則有窮數(shù)列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}（n∈N^•）是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)、公比的等比數(shù)列，
因?yàn)橛懈F數(shù)列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}（n∈N^•）的前n項(xiàng)和等于$\frac{63}{64}$，
所以$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}=\frac{63}{64}$，解得n=6，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的定義、前n項(xiàng)和公式，以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，屬于中檔題．