Question

7．某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入的部分數(shù)據(jù)如表：

x	x1	$\frac{1}{3}$	x2	$\frac{7}{3}$	x3
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）+B	0	$\sqrt{3}$	0	-$\sqrt{3}$	0

（Ⅰ）請求出表中的x₁，x₂，x₃的值，并寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移$\frac{2}{3}$個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]（3＜m＜4）上的圖象的最高點和最低點分別為M，N，求向量$\overrightarrow{NM}$與$\overrightarrow{ON}$夾角θ的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件知，$\frac{1}{3}ω+ϕ=\frac{π}{2}$，$\frac{7}{3}ω+ϕ=\frac{3π}{2}$，從而解得ω，φ，即可解得表中的x₁，x₂，x₃的值及函數(shù)f（x）的解析式
（Ⅱ）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得g（x）解析式，由題意可求最高點為$M（{1，\sqrt{3}}）$，最低點為$N（{3，-\sqrt{3}}）$，解得$\overrightarrow{ON}=（{3，-\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{NM}=（{-2，2\sqrt{3}}）$，由向量的夾角公式結(jié)合角的范圍即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由條件知，$\frac{1}{3}ω+ϕ=\frac{π}{2}$，$\frac{7}{3}ω+ϕ=\frac{3π}{2}$，
∴$ω=\frac{π}{2}$，$ϕ=\frac{π}{3}$，
∴${x_1}=-\frac{2}{3}，{x_2}=\frac{4}{3}，{x_3}=\frac{10}{3}$，$f（x）=\sqrt{3}sin（\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}）$．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{2}{3}$個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，
∴$g（x）=\sqrt{3}sin[\frac{π}{2}（x-\frac{2}{3}）+\frac{π}{3}]=\sqrt{3}sin\frac{π}{2}x$，
∵函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]（m∈（3，4））上的圖象的最高點和最低點分別為M，N，
∴最高點為$M（{1，\sqrt{3}}）$，最低點為$N（{3，-\sqrt{3}}）$，∴$\overrightarrow{ON}=（{3，-\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{NM}=（{-2，2\sqrt{3}}）$，
∴$cosθ=\frac{{\overrightarrow{ON}•\overrightarrow{NM}}}{{|{\overrightarrow{ON}}|•|{\overrightarrow{NM}}|}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，又0≤θ≤π，∴$θ=\frac{5π}{6}$．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，向量夾角公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．