Question

13．對(duì)任意銳角△ABC，均有sinA+sinB+sinC＞M成立，則實(shí)數(shù)M的最大值為2．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)證明sinx$＞\frac{2}{π}x$在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上成立，然后可得在銳角△ABC中，有sinA$＞\frac{2}{π}A$，sinB＞$\frac{2}{π}B$，
sinC$＞\frac{2}{π}C$，作和后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得答案．

解答 解：設(shè)f（x）=$\frac{sinx}{x}$（0$＜x＜\frac{π}{2}$），
則f′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=xcosx-sinx，則h′（x）=-xsinx＜0在（0，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∴h（x）=xcosx-sinx在（0，$\frac{π}{2}$）上為減函數(shù)，故xcosx-sinx＜0在（0，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∴f′（x）＜0，
則f（x）=$\frac{sinx}{x}$在（0，$\frac{π}{2}$）上為減函數(shù)，
而f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{2}{π}$，∴f（x）=$\frac{sinx}{x}$$＞\frac{2}{π}$，即sinx$＞\frac{2}{π}x$．
則在銳角△ABC中，有
sinA$＞\frac{2}{π}A$，sinB＞$\frac{2}{π}B$，sinC$＞\frac{2}{π}C$．
三式相加得：sinA+sinB+sinC＞$\frac{2}{π}$（A+B+C），
又A+B+C=π，
∴sinA+sinB+sinC＞2．
則滿足sinA+sinB+sinC＞M成立的實(shí)數(shù)M的最大值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了三角形內(nèi)角和定理，訓(xùn)練了不等式性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．