【題目】如圖,四棱錐的底面是平行四邊形,側(cè)面是邊長為2的正三角形, , .

(Ⅰ)求證:平面平面;

(Ⅱ)設(shè)是棱上的點(diǎn),當(dāng)平面時(shí),求二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析; (Ⅱ).

【解析】試題分析:(Ⅰ)要證平面平面,只需證平面即可.

(Ⅱ)分別以、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,求平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量求解即可.

試題解析:

(Ⅰ)取的中點(diǎn),連接 ,

因?yàn)?/span>是邊長為2的正三角形,所以, ,①

,所以,且,

于是,從而,②

由①②得平面,而平面,所以平面平面.

(Ⅱ)連結(jié),設(shè),則的中點(diǎn),連結(jié),當(dāng)平面時(shí), ,所以的中點(diǎn).

由(Ⅰ)知, 、兩兩垂直,分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則、、、

、坐標(biāo)得,從而, ,

設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則由,

,得,易知平面的一個(gè)法向量是,

所以

由圖可知,二面角的平面角為鈍角,故所求余弦值為.

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質(zhì)量指標(biāo)值

等級

三等品

二等品

一等品

從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件,檢測后得到如下的頻率分布直方圖:

(Ⅰ)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品92%”的規(guī)定?

(Ⅱ)在樣本中,按產(chǎn)品等級用分層抽樣的方法抽取8件,再從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件,求抽取的4件產(chǎn)品中,一、二、三等品都有的概率;

(Ⅲ)該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量,開展了“質(zhì)量提升月”活動(dòng),活動(dòng)后再抽樣檢測,產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值近似滿足,則“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動(dòng)前大約提升了多少?

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