Question

直線L與雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)N滿足

AN

=

NB

，且點(diǎn)N的坐標(biāo)是（-12，-15），則直線L必過雙曲線的（　�。�

• A、左頂點(diǎn)
• B、右頂點(diǎn)
• C、左焦點(diǎn)
• D、右焦點(diǎn)

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：判斷N為AB的中點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，及點(diǎn)在雙曲線上，得到方程，再作差運(yùn)用平方差公式和斜率公式，求得AB的斜率，進(jìn)而得到直線AB的方程，令y=0，解得x，即可判斷．

解答： 解：點(diǎn)N滿足

AN

=

NB

，
則N為AB的中點(diǎn)，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-24，y₁+y₂=-30，

x12

4

-

y12

5

=1，

x22

4

-

y22

5

=1，
兩式相減得，

(x1-x2)(x1+x2)

4

=

(y1-y2)(y1+y2)

5

，
即有k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

5×(-24)

4×(-30)

=1，
則有AB：y+15=x+12，
即有y=x-3．
令y=0，則x=3．
則經(jīng)過右焦點(diǎn)F（3，0）．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．