Question

11．若a≥0，b≥0，且當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{|x|≤1}\\{|y|≤1}\end{array}\right.$時，恒有2ax+by≤1，則點(diǎn)P（a+b，a-b）所形成的平面區(qū)域的面積是（　�。�

• A． $\frac{π}{2}$
• B． 2π
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先依據(jù)不等式組{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，結(jié)合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系畫出其表示的平面區(qū)域，再利用求最優(yōu)解的方法，結(jié)合題中條件：“恒有2ax+by≤1”得出關(guān)于a，b的不等關(guān)系，最后再據(jù)此不等式組表示的平面區(qū)域求出面積即可．

解答 解：令z=2ax+by，
∵2ax+by≤1恒成立，
即函數(shù)z=2ax+by在可行域要求的條件下，z_max=1恒成立．
當(dāng)直線2ax+by-z=0過點(diǎn)（1，1），有：2a+b≤1．
a≥0，b≥0，設(shè)m=a+b，n=a-b，則a=$\frac{m+n}{2}$，b=$\frac{m-n}{2}$，
2a+b≤1．
a≥0，b≥0，
轉(zhuǎn)化為：$\left\{\begin{array}{l}{2•\frac{m+n}{2}+\frac{m-n}{2}≤1}\\{\frac{m+n}{2}≥0}\\{\frac{m-n}{2}≥0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{3m+n-2≤0}\\{m+n≥0}\\{m-n≥0}\end{array}\right.$
點(diǎn)P（a+b，a-b）就是P（m，n）形成的圖形是圖中的三角形MNO的面積：由$\left\{\begin{array}{l}{m-n=0}\\{3m+n-2=0}\end{array}\right.$可得m=$\frac{1}{2}$，n=$\frac{1}{2}$，M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\left\{\begin{array}{l}{m+n=0}\\{3m+n-2=0}\end{array}\right.$，解得m=1，n=-1，即N（-1，1）
．
∴所求的面積S=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標(biāo)函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關(guān)鍵點(diǎn)、定出最優(yōu)解．