Question

7．已知定義在（-1，1）上的奇函數(shù)f（x），在x∈（-1，0）時，f（x）=2^x+2^-x．
（1）求f（x）在（-1，1）上的表達式；
（2）用定義證明f（x）在（-1，0）上是減函數(shù)；
（3）若對于x∈（0，1）上的每一個值，不等式m•2^x•f（x）＜4^x-1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出f（x）的表達式即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可；
（3）問題掌握$m＞-\frac{{{4^x}-1}}{{{4^x}+1}}=-1+\frac{2}{{{4^x}+1}}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）由f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，得f（0）=0，
設(shè)x∈（0，1），則-x∈（-1，0），
所以f（-x）=-f（x）=2^x+2^-x，f（x）=-（2^x+2^-x）
故$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}+{2^{-x}}，x∈（-1，0）\\ 0，x=0\\-（{2^x}+{2^{-x}}）x∈（0，1）\end{array}\right.$…（4分）
（2）設(shè)x₁，x₂是（-1，0）上任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）（{2^{x_1}}•{2^{x_2}}-1）}}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}$，
∵${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0，0＜{2^{x_1}}{2^{x_2}}＜1$，f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x）在x∈（-1，0）是減函數(shù)．…（8分）
（3）由m•2^x•f（x）＜4^x-1，
化簡得$m＞-\frac{{{4^x}-1}}{{{4^x}+1}}=-1+\frac{2}{{{4^x}+1}}$，
因為x∈（0，1），4^x+1∈（2，5），
所以$-1+\frac{2}{{{4^x}+1}}∈（-\frac{3}{5}，0）$，
故m的取值范圍m≥0．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．