Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{alnx+x+\frac{3}{x}，x≥1}\\{{x^3}+a{x^2}+2x-2，x＜1}\end{array}}\right.$，a∈R．
（1）若a=-2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過(guò)討論x的范圍，分離參數(shù)a，根據(jù)既不不等式的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)x≥1時(shí)，$f（x）=-2lnx+x+\frac{3}{x}$，${f^'}（x）=\frac{-2}{x}+1-\frac{3}{x^2}=\frac{{{x^2}-2x-3}}{x^2}$，
由f′（x）＞0，得x＞3；由f′（x）＜0得1＜x＜3，x＜1時(shí)，f（x）=x³-2x²+2x-2，
${f^'}（x）=3{x^2}-4x+2=3{（x-\frac{2}{3}）^2}+\frac{2}{3}＞0$，
綜上所述，函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為（-∞，1），（3，+∞）；單減區(qū)間為（1，3）．
（2）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，$f（x）=alnx+x+\frac{3}{x}$，${f^'}（x）=\frac{a}{x}+1-\frac{3}{x^2}=\frac{{{x^2}+ax-3}}{x^2}≥0$恒成立，
則$-a≤x-\frac{3}{x}$在區(qū)間（1，2）上恒成立，
而函數(shù)$y=x-\frac{3}{x}$在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，所以-a≤-2，即a≥2；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=x³+ax²+2x-2，f′（x）=3x²+2ax+2≥0恒成立，
則$-2a≤3x+\frac{2}{x}$在區(qū)間（0，1）上恒成立，
而x∈（0，1）時(shí)$3x+\frac{2}{x}≥2\sqrt{6}$，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$時(shí)成立，
所以$-2a≤2\sqrt{6}$，即$a≥-\sqrt{6}$，
由于f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞增，
故$\left\{{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a≥-\sqrt{6}}\\{1+a+2-2≤1+3}\end{array}}\right.$，解得2≤a≤3．
所以所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查既不不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．