Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}的公差為1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及其前n項(xiàng)和S_n；
（1）若數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，證明T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列{a_n}的公差為1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，可得${a}_{3}^{2}$=a₁a₉，即$（{a}_{1}+2）^{2}$=a₁（a₁+8），解得a₁．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．
（2）$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，再利用“裂項(xiàng)求和”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （1）解：∵等差數(shù)列{a_n}的公差為1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，
∴${a}_{3}^{2}$=a₁a₉，∴$（{a}_{1}+2）^{2}$=a₁（a₁+8），解得a₁=1．
∴a_n=1+（n-1）=n，
S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（2）證明：$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{n+1}）$＜2．
∴T_n＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和”、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．