Question

1．如圖，已知AA₁⊥平面ABC，BB₁∥CC₁∥AA₁，$AC=\sqrt{3}$，$BC=\sqrt{2}$，AA₁=2BB₁=2CC₁=2，BC⊥AC．
（1）求證：B₁C₁⊥平面A₁ACC₁；
（2）求直線AB₁與平面A₁B₁C₁所成的角．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥平面A₁ACC₁，BC∥B₁C₁，即可證明：B₁C₁⊥平面A₁ACC₁；
（2）取A₁C₁中點(diǎn)D，連AD，連接B₁D，可得∠AB₁D是直線AB₁與平面A₁B₁C₁所成的角，即可求直線AB₁與平面A₁B₁C₁所成的角．

解答 （1）證明：∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥AA₁…（2分）
∵BC⊥AC，AA₁，AC是平面A₁ACC₁內(nèi)的兩條相交直線   …（4分）
∴BC⊥平面A₁ACC₁
∵BB₁∥CC₁，且BB₁=CC₁=1，∴四邊形C₁CBB₁是平行四邊形
∴BC∥B₁C₁…（5分）
∴B₁C₁⊥平面A₁ACC₁…（6分）
（2）解：連接AC₁，在直角△ACC₁中，AC₁=2，在直角梯形A₁ACC₁中，A₁C₁=2
∴△AA₁C₁是邊長為2的正三角形，取A₁C₁中點(diǎn)D，連AD，則AD⊥A₁C₁且$AD=\sqrt{3}$…（7分）
∵B₁C₁⊥平面A₁ACC₁，AD?平面A₁ACC₁，∴AD⊥B₁C₁
∵A₁C₁∩B₁C₁=C₁，
∴AD⊥平面A₁B₁C₁，
連接B₁D，∴∠AB₁D是直線AB₁與平面A₁B₁C₁所成的角．
在直角△ABC中，AB=$\sqrt{5}$，又AB₁=$\sqrt{6}$，
∴在直角△AB₁D中，$sin∠A{B_1}D=\frac{AD}{{A{B_1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴∠AB₁D=45°…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的判定，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．