Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$+ax在x=-1是取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，0）上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（-1）=0，求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²-2x+a，
由函數(shù)在x=-1處取極值，故f′（-1）=0，
即1+2+a=0，解得：a=-3；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，
故f′（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
故f（x）在[-2，-1）遞增，在（-1，0）遞減，
由f（-2）=-$\frac{2}{3}$，f（-1）=$\frac{5}{3}$，
故f（x）_max=f（-1）=$\frac{5}{3}$，
f（x）_min=f（-2）=-$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及極值的意義，是一道中檔題．