Question

13．已知函數(shù)f（x）=asin²x+bsinx+c，其中a，b，c是非零實數(shù)，甲、乙兩人做一游戲，他們輪流確定系數(shù)a，b，c（如甲令b=1，乙令a=-2，甲再令c=3）后，如果對于任意實數(shù)x，f（x）≠0，那么甲得勝，如果存在實數(shù)x，使f（x）=0，那么乙得勝，甲先選數(shù)，他是否有必勝策略？為什么？如果a，b，c是任意實數(shù)，結(jié)論如何？為什么？

Answer 1

分析 若a，b，c是非零實數(shù)，甲先確定b值，則不論乙確定a還是c，甲總能確定另外一個系數(shù)c或者a，使△=1-ac＜0，此時方程無解，即甲有必勝策略；
如果a，b，c是任意實數(shù)，分類討論，可得乙有必勝策略．

解答 解：（1）若a，b，c是非零實數(shù)，則甲有必勝策略，理由如下：
①甲先確定b值，b≠0，
②不論乙確定a還是c，甲總能確定另外一個系數(shù)c或者a，使△=1-ac＜0，此時方程ax²+bx+c=0無解，
則對于任意實數(shù)x，f（x）≠0，
即甲必勝策略為：先確定b值，再根據(jù)乙確定的值，確定一個使△=1-ac＜0的值．
（2）如果a，b，c是任意實數(shù)，
①若甲先確定a，或b值，則只要乙確定c=0，則乙勝，
故甲必定先確定c值，且c≠0；
②此時，乙若確定b值，則甲總能確定另外一個系數(shù)a使△=1-ac＜0，此時方程ax²+bx+c=0無解，
則對于任意實數(shù)x，f（x）≠0，此時甲勝，
故乙必定先確定a值，
③若乙確定的a=0，則甲只要令b=0，方程就無解，甲勝，
故乙必確定的a≠0，
④若乙確定的a≠0，為使方程有解，乙確定的a值必與c值異號，
且為保證方程ax²+bx+c=0在[-1，1]上必有解，
可使|$\frac{c}{a}$|≤1，則乙還勝，
故乙有必勝策略．

點評 本題考查了類一元一次方程根的個數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，難度中檔．