Question

17．一塊邊長為10cm 的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐的無蓋容器，試把容器的體積V表示為x的函數(shù)，并求容積的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)出所截等腰三角形的底邊邊長為xcm，在直角三角形中根據(jù)兩條邊長利用勾股定理做出四棱錐的高，表示出四棱錐的體積，根據(jù)實(shí)際意義寫出定義域．再由三元基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：如圖，設(shè)所截等腰三角形的底邊邊長為xcm，
在Rt△EOF中，EF=5cm，OF=$\frac{1}{2}$xcm，
∴EO=$\sqrt{25-\frac{1}{4}{x}^{2}}$，
∴V=$\frac{1}{3}$x²$\sqrt{25-\frac{1}{4}{x}^{2}}$．
依題意函數(shù)的定義域?yàn)閧x|0＜x＜10}，
則V²=$\frac{1}{9}$x⁴（25-$\frac{1}{4}$x²）=$\frac{1}{72}$x²•x²•（200-2x²）
≤$\frac{1}{72}$（$\frac{{x}^{2}+{x}^{2}+200-2{x}^{2}}{3}$）³=$\frac{8×1{0}^{6}}{72×27}$，
即有x²=200-2x²，即x=$\frac{10\sqrt{6}}{3}$cm時(shí)，該容器的容積取得最大值，
且為$\frac{1000\sqrt{3}}{27}$cm³．

點(diǎn)評 本題考查正四棱錐的體積的最大值，考查基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．