Question

14．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（1）證明：PA⊥BD；
（2）設PD=AD=1，求點D到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）證明BD⊥AD．又PD⊥底面ABCD，所以BD⊥PD．可得BD⊥平面PAD，即可證明PA⊥BD；
（2）作DE⊥PB，垂足為E．已知PD⊥底面ABCD，故PD⊥BC，由DE•PB=PD•BD，得DE，即可求點D到平面PBC的距離．

解答 （1）證明：因為∠DAB=60°，AB=2AD，
由余弦定理，得BD=$\sqrt{3}$AD．
所以BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD．
又PD⊥底面ABCD，所以BD⊥PD．
所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD．
（2）解：如圖，作DE⊥PB，垂足為E．已知PD⊥底面ABCD，故PD⊥BC．
由（1）知BD⊥AD，因為BC∥AD，所以BC⊥BD．
所以BC⊥平面PBD，BC⊥DE．則DE⊥平面PBC，
即DE為棱錐D-PBC的高．由PD=AD=1知BD=$\sqrt{3}$，PB=2．
由DE•PB=PD•BD，得DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．所以點D到平面PBC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質，考查點到平面距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．