Question

如圖，PA垂直直角梯形ABCD所在平面，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=

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AD=a，點(diǎn)M在PC上．
（Ⅰ）求證：AM⊥CD；
（Ⅱ）若M是PC的中點(diǎn)，求二面角M-AD-C的大�。�

Answer 1

分析：（I）由已知中PA垂直直角梯形ABCD所在平面，可得PA⊥CD，又由直角梯形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，AB=BC=

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AD=a，可得AC⊥CD，進(jìn)而由線面垂直的判定定理可得CD⊥面PAC，再由線面垂直的性質(zhì)定理得到AM⊥CD；
（Ⅱ）取AC的中點(diǎn)N，連接MN，過(guò)N作NQ⊥AD，垂足為Q，連接MQ．由三角形的中位線定理可得MN∥PA，進(jìn)而由線面垂直的第二判定定理可得MN⊥面ABCD，則∠MQN為二面角M-AD-C的平面角，解△MQN即可得到答案．

解答：證明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，CD?面ABCD，
∴PA⊥CD．
又在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，AB=BC=

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AD=a，
∴AD=2a，AC=CD=

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a
∴AD²=AC²+CD²
∴AC⊥CD．
∵PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．
∵AM?面PAC，∴AM⊥CD；
解：（Ⅱ）取AC的中點(diǎn)N，連接MN，過(guò)N作NQ⊥AD，垂足為Q，連接MQ．
∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴MN∥PA．
∵PA⊥面ABCD，∴MN⊥面ABCD，
則∠MQN為二面角M-AD-C的平面角．
∵MN=

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PA=

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a，NQ=

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AB=

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a，
∴∠MQN=45°，即二面角M-AD-C的大小為45⁰．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的求法，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，其中（I）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，（II）的關(guān)鍵是求出二面角M-AD-C的平面角∠MQN，將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題．