【題目】如圖,在三棱柱,⊥底面,底面為等邊三角形,,, ,分別為, 的中點.

(1)求證:平面

(2)求平面與平面所成二面角的余弦值;

(3)設(shè)平面與平面的交線為求證:與平面不平行.

【答案】(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.

【解析】

(1)法一:取中點,連接,證明四邊形為平行四邊形,所以,即可證明;法二:取中點,連接,則,因為為平行四邊形,所以,證明平面平面延長交于點,連接,在中,的中點,所以,

(2)求出平面A1EC的法向量和平面ABC的法向量,利用向量法能求出平面A1EC與平面ABC所成二面角的余弦值.

(3)法一:反證法,推得,與相交矛盾;法二:延長交于點,連接,得到兩平面的交線,,所以與平面不平行.

(1)證法1:

中點,連接,則,又

所以四邊形為平行四邊形,所以,

平面 平面,

所以平面 .

證法2:取中點,連接,則,

因為為平行四邊形,所以,,

所以平面平面,

所以平面,

證法3:延長交于點,連接,

中,的中點,所以,

平面 平面,

所以平面.

(2)因為底面,,

所以底面,

又三角形為等邊三角形,中點,所以,

為原點,建立如圖所示所示的坐標系,

,,,

,,

設(shè)平面的法向量為,則,

,則 ,

易知平面的一個法向量為 ,

,

由圖可知,所求二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.

(3)方法1:

假設(shè)與平面平行,

因為平面,平面平面,所以,

同理,

所以,與相交矛盾,

所以與平面不平行.

方法2:延長交于點,連接,則就是直線,

,所以與平面不平行.

練習(xí)冊系列答案
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