Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù).

(1)求的最大值；

(2)若在上恒成立，求的取值范圍；

(3)討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）見解析

【解析】

【試題分析】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，將問題單調(diào)性問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題進(jìn)行求解；（2）先求函數(shù)再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解；（3）先構(gòu)造函數(shù)，再將問題　轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值與函數(shù)的最小值，借助題設(shè)條件建立不等式進(jìn)行分析求解：

解：

(1)

又 在 上單調(diào)遞減 在恒成立

故 的最大值為

(2)

只需 在上恒成立，

令 ，則需

又恒成立 所以

(3) 令 ，

所以當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減.所以

又

當(dāng)，即時(shí)，方程無解；當(dāng)，即時(shí)，方程有一個(gè)解；當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)解.