Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為q（q≠-1）的等比數(shù)列，若{

1

an+an+1

}是等差數(shù)列，則（

1

a2

+

1

a3

）+（

1

a3

+

1

a4

）+…+（

1

a2013

+

1

a2014

）=（　�。�

• A、2012
• B、2013
• C、4024
• D、4026

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意知a_n=q^n-1，

3

an

-

3

an+1

=

1

an-1

-

1

an+2

，a_n=q^n-1代入解得q=1，a_n=1，（

1

a2

+

1

a3

）+（

1

a3

+

1

a4

）+…+（

1

a2013

+

1

a2014

）=

2+2+…+2

2012個

，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為q（q≠-1）的等比數(shù)列，
∴a_n=q^n-1，
∵{

1

an+an+1

}是等差數(shù)列，
∴

2

an+an+1

=

1

an-1+an

+

1

an+1+an+2

，
即

3

an

-

3

an+1

=

1

an-1

-

1

an+2

，
a_n=q^n-1代入得，

3

qn-1

-

3

qn

=

1

qn-2

-

1

qn+1

，
整理，得3q²-3q=q³-1
解得q=1，a_n=1，
∴（

1

a2

+

1

a3

）+（

1

a3

+

1

a4

）+…+（

1

a2013

+

1

a2014

）
=

2+2+…+2

2012個

=2×2012=4024．
故選：C．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運用．