Question

已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n-a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列的通項公式結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程求出公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）依題意得bn=2n+n，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答： （本小題滿分（13分），（Ⅰ）小問（6分），（Ⅱ）小問7分）
解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
則a₃=1+2d，a₉=1+8d，
∵a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，
∴a32=a1a9，即（1+2d）²=1+8d，解得：d=1或d=0（舍）
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n
（Ⅱ）依題意有：bn-an=2n，則bn=2n+n，
∴Sn=b1+b2+…+bn=(21+1)+(22+2)+…+(2n+n)
=(21+22+…+2n)+(1+2+…+n)=

2×(1-2n)

1-2

+

(1+n)n

2

=2n+1+

1

2

n2+

1

2

n-2．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．