Question

8．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，O是正方形AA₁B₁B的中心，AB=2$\sqrt{2}$，C₁O⊥平面AA₁B₁B，且C₁O=2．
（1）設N為棱B₁C₁的中點，點M在平面AA₁B₁B內，且MN⊥平面A₁B₁C₁，求線段AM的長；
（2）求二面角A-BC-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立坐標系，設出M的坐標，根據線面垂直的性質定理，求出M的坐標即可得到結論．
（2）建立空間直角坐標系，求出對應平面的法向量，利用向量法進行求解即可．

解答 解：：（1）∵C₁O⊥平面AA₁B₁B，O是正方形AA₁B₁B的中心，
∴建立以O為原點，OA，OA₁，OC₁為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
∵AB=2$\sqrt{2}$，C₁O=2．
∴AB₁=4．
則OA=OA₁=2．
即A（2，0，0），A₁（0，2，0），C₁（0，0，2）．B₁（-2，0，0）．
則$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（-2，-2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（0，-2，2），
若N為棱B₁C₁的中點，則N（-1，0，1）
設M（a，b，0），則$\overrightarrow{MN}$=（a+1，b，-1），
若MN⊥平面A₁B₁C₁，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2（a+1）-2b=0}\\{-2b-2=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+1=-b}\\{b=-1}\end{array}\right.$，得a=0，b=-1，
即M（0，-1，0），則|AM|=$\sqrt{{2}^{2}+1}$=$\sqrt{5}$．
（2）$\overrightarrow{{C}_{1}C}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，4，0），
設平面ABC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-2x-2y=0}\end{array}\right.$，
令y=-1，則x=1，z=1，即為$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-1），
設平面BCA₁B的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=4y=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=-z}\\{y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則y=0，z=-1，即為$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1×1+（-1）×（-1）}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即二面角A-BC-A₁的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本小題主要考查線面垂直的應用以及線段的長度、二面角的求解，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力