Question

20．在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱AB和BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF．
（1）求證：A₁F⊥C₁E；
（2）當(dāng)AE=BF=$\frac{2}{3}$a時(shí)，求三棱錐A₁-EFC₁的體積．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，證明$\overrightarrow{{A}_{1}F}$•$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=0，可得A₁F⊥C₁E；
（2）求出E到平面A₁C₁F的距離，△A₁C₁F的面積，即可求三棱錐A₁-EFC₁的體積．

解答 （1）證明：以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A₁（a，0，a）、C₁（0，a，a），設(shè)AE=m，則E（a，m，0），F(xiàn)（a-m，a，0），
從而$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（-m，a，-a），$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（a，m-a，-a），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}F}$•$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=0
∴A₁F⊥C₁E；
（2）解：由題意，E（a，$\frac{2}{3}$a，0），F(xiàn)（$\frac{a}{3}$，a，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-a，a，0），$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（-$\frac{2}{3}$a，a，-a），
設(shè)平面A₁C₁F的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{-ax+ay=0}\\{-\frac{2}{3}ax+ay-az=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\frac{1}{3}$）
∵$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（a，-$\frac{1}{3}a$，-a），
∴E到平面A₁C₁F的距離d=$\frac{|a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}a|}{\sqrt{1+1+\frac{1}{9}}}$=$\frac{\sqrt{19}}{19}$a，
∵$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（-$\frac{2}{3}$a，a，-a），∴|$\overrightarrow{{A}_{1}F}$|=$\frac{\sqrt{22}}{3}$a，
cos∠FA₁C₁=$\frac{\frac{2}{3}{a}^{2}+{a}^{2}}{\sqrt{2}a•\frac{\sqrt{22}}{3}a}$=$\frac{5\sqrt{11}}{22}$，
∴sin∠FA₁C₁=$\frac{\sqrt{209}}{22}$，
∴△A₁C₁F的面積為$\frac{1}{2}•\sqrt{2}a•\frac{\sqrt{22}}{3}a$•$\frac{\sqrt{209}}{22}$=$\frac{\sqrt{2299}}{66}$a²，
∴三棱錐A₁-EFC₁的體積=$\frac{1}{3}$$\frac{\sqrt{2299}}{66}$a²•$\frac{\sqrt{19}}{19}$a=$\frac{1}{18}{a}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系，點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算、用空間向量求平面間的夾角，其中建立空間坐標(biāo)系，將總是轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量計(jì)算問題是解答本題的關(guān)鍵．